Inégalité des accroissements finis

Inégalité

Une variable

Inégalité des accroissements finis :
Soit $f:I\to\Bbb R$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ ouvert
S'il existe une constante $M$ telle que pour tout $x\in I,\lvert f'(x)\rvert\leqslant M$, alors $$\forall x,y\in I,\lvert f(x)-f(y)\rvert\leqslant M\lvert x-y\rvert$$
(Dérivabilité, //Théorème des accroissements finis)
Inégalité des accroissements finis :

$f$ est une fonction réelle définie sur un intervalle $I$ ouvert
$\lvert f^\prime\rvert$ est majorée sur $I$ par une constante $M$ ($f^\prime$ est borné)

$$\Huge\iff$$

pour tout $x,y\in I$, on a la majoration : $$\begin{align}&\lvert f(x)-f(y)\rvert\leqslant M\lvert x-y\rvert\\ \\ \overset{x\ne y}\iff&\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leqslant M\end{align}$$

[!Warning] C'est faux en dimension supérieure
Par exemple, $f(t)=(\cos t,\sin t)$ vérifie les hypothèses, mais pas le résultat.

Plusieurs variables

Inégalité des accroissements finis :
Soit $f:U\to{\Bbb R}$ de classe $\mathscr C^1$ sur un ouvert $U$ convexe
Si il existe $k$ tel que $\lVert\operatorname{grad} f(c)\rVert\leqslant k\quad\forall c\in U$, alors $$\forall a,b\in U,\qquad\lvert f(b)-f(a)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert$$
(Classe de fonctions, Ouvert, Ensemble convexe, Gradient, Norme)
Inégalité des accroissements finis (fonction de deux variables) :

$f$ est une fonction réelle définie sur un ouvert $U$ convexe
$f$ est de classe $\mathscr C^1$
$\lVert\operatorname{grad} f\rVert$ est majorée sur $U$ par une constante $k$

$$\Huge\iff$$

pour tout $a,b\in U$, on a la majoration : $$\begin{align}&\lvert f(b)-f(a)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert\\ \\ \overset{b\ne a}\iff&\frac{\lvert f(b)-f(a)\rvert}{\lVert b-a\rVert}\leqslant k\end{align}$$

Soit $f:U\to{\Bbb R}$ une fonction de classe $\mathscr C^1$ sur un ouvert convexe $U\subset{\Bbb R}^2$ muni de la norme euclidienne
On suppose qu'il existe $k\gt 0$ tel que $\forall c,\lVert\operatorname{grad} f(c)\rVert\leqslant k$
Montrer que $$\forall a,b\in U,\qquad\lvert f(a)-f(b)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert$$ (inégalité des accroissements finis)

Définition d'une fonction intéressante
On cherche $g$ fonction d'une variable telle que $g(0)=f(a)$ et $g(1)=f(b)$
On voudrait à la fin avoir $$\lvert g(1)-g(0)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert$$ soit $$g:\begin{align}{\Bbb R}&\longrightarrow{\Bbb R}\\ t&\longmapsto f(a+t(b-a))\end{align}$$ $g$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $[0,1]$ car $f$ est de classe $\mathscr C^1$ sur $U$ car $\theta:t\mapsto a+t(b-a)$ est de classe $\mathscr C^1$ et $\theta([0,1])$ est inclus dans $U$ car $U$ est convexe

Dérivée de cette fonction $\to$ on tombe sur le gradient
De plus, $\forall t\in[0,1]$, $$\begin{align} g^\prime(t)&=(b_1-a_1)\frac{\partial f}{\partial x}(a+t(b-a))+(b_2-a_2)\frac{\partial f}{\partial y}(a+t(b-a))\\ &=\langle\operatorname{grad} f(a+t(b-a)),b-a\rangle\end{align}$$ où $a=(a_1,a_2)$ et $b=(b_1,b_2)$

Inégalité de Cauchy-Schwarz
L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne : $$\begin{align}\lvert g^\prime(t)\rvert&\leqslant\lVert\operatorname{grad} f(a+t(b-a))\rVert_2\lVert b-a\rVert_2\\ &\leqslant k\lVert b-a\rVert_2\end{align}$$

L'inégalité des accroissements finis en une variable donne : $$\lvert g(1)-g(0)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert_2(1-0)$$ donc $$\lvert f(b)-f(a)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert_2$$

(Inégalité de Cauchy-Schwarz, Inégalité des accroissements finis (Une variable))

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